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Algebra · real student question

解方程式：1/x³ − 1/(5 × 10⁻⁵)³ = 3.1100685 × 10¹¹，求 x。

Question

解出 xx：

1x3−1(5×10−5)3=3.1100685×1011\frac{1}{x^3} - \frac{1}{\left(5\times 10^{-5}\right)^3} = 3.1100685\times 10^{11}

Step-by-step solution

  1. 先把已知的常數算出來。 底數與 10 的乘冪各自立方：

    (5×10−5)3=53×10−15=125×10−15=1.25×10−13\left(5\times 10^{-5}\right)^3 = 5^3 \times 10^{-15} = 125\times 10^{-15} = 1.25\times 10^{-13}

    指數是乘以 33，不是加上 33——是 10−1510^{-15}，不是 10−810^{-8}。

  2. 取倒數。 取倒數會把前面的有效數字換成它的倒數，並讓指數變號：

    11.25×10−13=0.8×1013=8×1012\frac{1}{1.25\times 10^{-13}} = 0.8 \times 10^{13} = 8\times 10^{12}

  3. 兩邊同加這個常數，把 1/x³ 分離出來。

    1x3=8×1012+3.1100685×1011\frac{1}{x^3} = 8\times 10^{12} + 3.1100685\times 10^{11}

    要相加，先把兩項化成同一個 10 的乘冪：

    =80×1011+3.1100685×1011=83.1100685×1011=8.31100685×1012= 80\times 10^{11} + 3.1100685\times 10^{11} = 83.1100685\times 10^{11} = 8.31100685\times 10^{12}

    沒有先對齊指數就把前面的數字相加，是這裡的典型錯誤。

  4. 再取一次倒數，得到 x³。

    x3=18.31100685×1012=1.20322×10−13x^3 = \frac{1}{8.31100685\times 10^{12}} = 1.20322\times 10^{-13}

  5. 開立方根。 把有效數字和指數為 33 的倍數的 10 的乘冪拆開：

    x=120.322×10−153=120.3223×10−5=4.9368×10−5x = \sqrt[3]{120.322\times 10^{-15}} = \sqrt[3]{120.322}\times 10^{-5} = 4.9368\times 10^{-5}

    把 10−1310^{-13} 改寫成 120.322×10−15120.322\times10^{-15}，正是讓 10 的乘冪能開出整齊立方根的關鍵。

  6. 代回驗算。 取 x=4.9368×10−5x = 4.9368\times 10^{-5}：

    1x3=8.3112×1012,8.3112×1012−8×1012=3.1119×1011 ✓\frac{1}{x^3} = 8.3112\times 10^{12}, \qquad 8.3112\times 10^{12} - 8\times 10^{12} = 3.1119\times 10^{11} \ \checkmark

    注意 xx 與 5×10−55\times 10^{-5} 有多接近：等號右邊只佔 8×10128\times10^{12} 的約 3.9%3.9\%，而 xx 是隨立方根的倒數變化的，所以 xx 只移動了約 1.3%1.3\%。

Answer

x≈4.9368×10−5x \approx 4.9368\times 10^{-5}

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