解 x³ + 12x² + 48x + 72 = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   測試完全立方的形態。 係數 $1,12,48$ 與 $(x+b)^{3}=x^{3}+3bx^{2}+3b^{2}x+b^{3}$ 相符：由 $3b=12$ 得 $b=4$，接著 $3b^{2}=48$ ✓。唯一對不上的是常數項：

   $(x+4)^{3}=x^{3}+12x^{2}+48x+64,$

   而題目給的是 $72$。看出這個「差一點」正是整題的重點——這條三次式不是完全立方，但它是完全立方加上一個常數。

2. 2

   改寫成平移過的立方。 因為 $72=64+8$，

   $x^{3}+12x^{2}+48x+72=(x+4)^{3}+8,$

   所以方程式成為

   $(x+4)^{3}+8=0\;\Longrightarrow\;(x+4)^{3}=-8.$

   只靠這一次改寫，三次方程式就變成一步可解的東西。

3. 3

   取實立方根。 和平方根不同，負數的立方根是個貨真價實的實數，而且唯一：

   $x+4=\sqrt[3]{-8}=-2.$

   這裡沒有 $\pm$——函數 $t\mapsto t^{3}$ 嚴格遞增，所以在實數上是一對一的。

4. 4

   解出 $x$。 兩邊同減 $4$：

   $x=-2-4=-6.$

   這是唯一的實根；另外兩個是複數，來自立方和公式的分解 $(x+4)^{3}+2^{3}=(x+6)\left((x+4)^{2}-2(x+4)+4\right)$，其中的二次因式 $x^{2}+6x+12$ 判別式為 $36-48=-12<0$。

5. 5

   代回檢驗。 取 $x=-6$：

   $(-6)^{3}+12(36)+48(-6)+72=-216+432-288+72=0 ✓.$

   用結構檢查也可以：$(-6+4)^{3}+8=(-2)^{3}+8=-8+8=0$ ✓。