解聯立方程式 x1 − 3x3 = 8、2x1 + 2x2 + 9x3 = 7、x2 + 5x3 = −2。
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解聯立方程式
x1−3x3=82x1+2x2+9x3=7x2+5x3=−2\begin{aligned}x_1-3x_3&=8\\ 2x_1+2x_2+9x_3&=7\\ x_2+5x_3&=-2\end{aligned}x1−3x32x1+2x2+9x3x2+5x3=8=7=−2
善用缺項，不要硬做消去法。 第一式裡沒有 x2x_2x2，第三式裡沒有 x1x_1x1，所以這兩式各自已經把一個變數單獨用 x3x_3x3 表示出來。在這裡用代入法會比做列運算化簡便宜得多。
用那兩個稀疏的式子解出 x1 與 x2。
x1=8+3x3,x2=−2−5x3.x_1=8+3x_3,\qquad x_2=-2-5x_3.x1=8+3x3,x2=−2−5x3.
把兩者都代入剩下的那一式。
2(8+3x3)+2(−2−5x3)+9x3=7.2(8+3x_3)+2(-2-5x_3)+9x_3=7.2(8+3x3)+2(−2−5x3)+9x3=7.
展開並合併同類項。
16+6x3−4−10x3+9x3=7 ⟹ 12+5x3=7 ⟹ x3=−1.16+6x_3-4-10x_3+9x_3=7\ \Longrightarrow\ 12+5x_3=7\ \Longrightarrow\ x_3=-1.16+6x3−4−10x3+9x3=7 ⟹ 12+5x3=7 ⟹ x3=−1.
回代求另外兩個未知數。
x1=8+3(−1)=5,x2=−2−5(−1)=3.x_1=8+3(-1)=5,\qquad x_2=-2-5(-1)=3.x1=8+3(−1)=5,x2=−2−5(−1)=3.
三個式子全部驗算。 5−3(−1)=5+3=85-3(-1)=5+3=85−3(−1)=5+3=8 ✓；2(5)+2(3)+9(−1)=10+6−9=72(5)+2(3)+9(-1)=10+6-9=72(5)+2(3)+9(−1)=10+6−9=7 ✓；3+5(−1)=−23+5(-1)=-23+5(−1)=−2 ✓。係數行列式為 −5≠0-5\neq 0−5=0，所以 (5,3,−1)(5,3,-1)(5,3,−1) 是唯一解。
(x1,x2,x3)=(5,3,−1)(x_1,x_2,x_3)=(5,3,-1)(x1,x2,x3)=(5,3,−1)
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