解不等式 |2x − 3| ≤ x − 1。

Step-by-step solution

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   先強制右邊非負。 左邊是絕對值，所以它 $\ge 0$。如果 $x-1<0$，這個不等式根本不可能成立，於是得到一個硬性條件：

   $x-1\ge 0\quad\Longrightarrow\quad x\ge 1$

   這道關卡正是「右邊含變數」與「右邊是數字」的差別 —— 跳過它就會撿到假解。

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   把絕對值換成夾擠式。 當 $b\ge 0$ 時，$|A|\le b$ 等價於 $-b\le A\le b$。取 $A=2x-3$、$b=x-1$：

   $-(x-1)\le 2x-3\le x-1$

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   解左半邊。 展開並整理：

   $-x+1\le 2x-3\;\Longrightarrow\;4\le 3x\;\Longrightarrow\;x\ge\frac{4}{3}$

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   解右半邊。 兩邊減 $x$、加 $3$：

   $2x-3\le x-1\;\Longrightarrow\;x\le 2$

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   把三個條件取交集。 我們需要 $x\ge 1$、$x\ge\frac43$ 與 $x\le 2$ 同時成立；真正起作用的是後兩個：

   $\frac{4}{3}\le x\le 2$

   檢查端點：在 $x=\tfrac43$，$\left|\tfrac83-3\right|=\tfrac13$ 而 $x-1=\tfrac13$ $\checkmark$；在 $x=2$，$|1|=1$ 而 $x-1=1$ $\checkmark$。區間外，$x=3$ 給出 $|3|=3\not\le 2$ $\checkmark$。