解不等式 x² + x - 1 大於或等於 0。

Step-by-step solution

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   用公式解定出兩根。 取 $a=1$、$b=1$、$c=-1$，

   $\Delta=1^2-4(1)(-1)=1+4=5\quad\Rightarrow\quad x=\frac{-1\pm\sqrt5}{2}$

   沒有任何整數對能乘積為 $-1$ 而和為 $1$，所以因式分解本來就走不通。

2. 2

   認出這兩個數。 $\frac{-1+\sqrt5}{2}=0.6180340$、$\frac{-1-\sqrt5}{2}=-1.6180340$——它們正是黃金比例與其共軛值的相反數。黃金比例滿足 $\varphi^2=\varphi+1$；把 φ = −x 代進去，那個關係式恰好變成 $x^2+x-1=0$。兩根的乘積是 $-1$、和是 $-1$，與 $c/a$ 和 $-b/a$ 吻合。

3. 3

   利用開口方向。 首項係數為正，所以拋物線開口向上，式子在兩根之間那段區間之外才會 $\ge 0$：

   $x\le\frac{-1-\sqrt5}{2}\qquad\text{或}\qquad x\ge\frac{-1+\sqrt5}{2}$

4. 4

   端點要包含進來。 不等號帶等號（$\ge$），而在兩根處式子恰好等於 $0$，所以兩個邊界值都屬於解集——要用閉括號，不是開括號。

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   用測試點驗證。 取 $x=-2$：$4-2-1=1\ge 0$ ✓。取 $x=0$：得 $-1$，不成立，正好把中間那段排除掉 ✓。取 $x=1$：$1+1-1=1\ge 0$ ✓。所以解是

   $\left(-\infty,\tfrac{-1-\sqrt5}{2}\right]\cup\left[\tfrac{-1+\sqrt5}{2},\infty\right)$