xy 平面上一條拋物線的頂點是 (9, −14)，並與 x 軸交於兩點。若其方程式寫成 y = ax² + bx + c，則 a + b + c 可能是哪些值？

Step-by-step solution

1. 1

   先認出 a + b + c 的意義。 把 $x=1$ 代入 $y=ax^2+bx+c$ 得 $a(1)+b(1)+c=a+b+c$。所以

   $a+b+c=y(1),$

   也就是拋物線在 $x=1$ 處的高度。根本不必個別求出 $b$ 與 $c$ — 這個恆等式就是整題的捷徑。

2. 2

   把拋物線寫成頂點式。 頂點是 $(9,-14)$，所以

   $y=a(x-9)^{2}-14.$

3. 3

   代入 x = 1。

   $a+b+c=y(1)=a(1-9)^{2}-14=64a-14.$

4. 4

   由兩個 x 截距釘住 a 的正負。 頂點落在 $y=-14$，位於 $x$ 軸下方。最低點在該軸下方的拋物線，只有開口向上時才可能與該軸交於兩點，所以

   $a>0.$

   （若 $a<0$，頂點就會是最大值，整條曲線都留在 $y=-14$ 以下，永遠碰不到該軸。）

5. 5

   把 a 的限制換成和的限制。 因為 $a>0$，

   $64a>0\quad\Longrightarrow\quad a+b+c=64a-14>-14.$

   所以任何嚴格大於 $-14$ 的數都取得到，而任何 $\le -14$ 的數都取不到。

6. 6

   用一條具體的拋物線確認。 取 $a=1$：$y=(x-9)^2-14=x^2-18x+67$，於是 $a+b+c=1-18+67=50=64(1)-14$ ✓。它的頂點是 $(9,-14)$，根是 $9\pm\sqrt{14}$ — 確實有兩個 $x$ 截距。改取 $a=\tfrac{1}{64}$ 則得 $a+b+c=-13$，說明略大於 $-14$ 的值也拿得到。