對 f(x) = 7/(3x - 1)，求差商 (f(x+h) - f(x))/h 並化簡。

Step-by-step solution

1. 1

   寫出 f(x + h)。 代入只發生在分母上：

   $f(x+h) = \frac{7}{3(x+h)-1} = \frac{7}{3x+3h-1}$

2. 2

   把繁分數的形式列出來。

   $\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \frac{1}{h}\left(\frac{7}{3x+3h-1} - \frac{7}{3x-1}\right)$

   關鍵在於先把括號裡的差通分，再去除以 $h$；否則什麼都約不掉。

3. 3

   通分合併。

   $\frac{7(3x-1) - 7(3x+3h-1)}{(3x+3h-1)(3x-1)}$

   分子展開成 $21x - 7 - 21x - 21h + 7 = -21h$ —— 除了 $-21h$ 以外每一項都消掉了，這正是這一步操作的全部用意。

4. 4

   除以 h 再約分。

   $\frac{-21h}{h\,(3x+3h-1)(3x-1)} = \frac{-21}{(3x+3h-1)(3x-1)}$

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   驗證並取極限。 取 $x = 1.3$、$h = 0.07$：直接算差商得 $-2.3284178$，公式給出 $\tfrac{-21}{(3.11)(2.9)} = -2.3284178$。當 $h \to 0$ 時整個式子趨於 $\tfrac{-21}{(3x-1)^2}$，這確實就是 $\tfrac{d}{dx}\tfrac{7}{3x-1}$。