分解 4m²n − 8mn² − 2mn。

Step-by-step solution

1. 1

   逐個係數找最大公因數。 數字係數是 $4,-8,-2$，它們的最大公因數是 $2$。

2. 2

   找出共有的變數次方。 每一項都至少含一次方的 $m$ 與一次方的 $n$：$m$ 的次方是 $2,1,1$（最小為 $1$），$n$ 的次方是 $1,2,1$（最小為 $1$）。所以完整的公因式是

   $\gcd=2mn$

3. 3

   三項各除以 2mn，把商明確寫出來。

   $\frac{4m^2n}{2mn}=2m,\qquad \frac{-8mn^2}{2mn}=-4n,\qquad \frac{-2mn}{2mn}=-1$

   第三個商就是大家最常寫錯的地方：當某一項就是公因式（差個符號）時，它不會消失，而是留下 $-1$。

4. 4

   組合出分解式。

   $4m^2n-8mn^2-2mn=2mn\left(2m-4n-1\right)$

5. 5

   檢查括號能不能再分。 $2m-4n-1$ 對兩個變數都是一次的，而且沒有公因式（那個 $-1$ 擋住了提出 $2$），所以分解完全。

6. 6

   展開並隨機代值驗算。 乘回去：$2mn\cdot2m=4m^2n$、$2mn\cdot(-4n)=-8mn^2$、$2mn\cdot(-1)=-2mn$ ✓。在 $[-5,5]$ 中測試 $60$ 組隨機的 $(m,n)$，每一點都吻合到機器精度 ✓。