解 1/(s + 2) + 1/(s + 4) + 1/(s + 9) − 1/(s + 6) = 0，求 s。

Step-by-step solution

1. 1

   先把不可取的值記下來。 四個分母分別在

   $s=-2,\ -4,\ -6,\ -9$

   處為零。不論代數運算得出什麼，這些值都不可能是解。事先記下來，稍後只要冒出假根就能立刻抓到。

2. 2

   兩邊同乘以公分母去掉分數。 每一項都乘上 $(s+2)(s+4)(s+6)(s+9)$，方程式就變成多項式方程式。把得到的四個三次式合併，得

   $2s^{3}+33s^{2}+180s+300=0$

   四次項會相消，因為三個分式相加、一個相減，於是次數從 4 降到 3。

3. 3

   檢驗有理根——並否決那些看似可行的。 由有理根定理，候選值是 $\pm\frac{p}{q}$，其中 $p\mid 300$、$q\mid 2$。檢查幾個看起來合理的：$s=-5$ 得 $2(-125)+33(25)-900+300=-25\neq 0$，$s=-4$ 得 $-128+528-720+300=-20\neq 0$，$s=-\tfrac{15}{2}$ 得 $-\tfrac{3375}{4}+\tfrac{7425}{4}-1350+300\neq 0$。沒有任何有理根，所以這個三次式在有理數範圍內無法因式分解。

4. 4

   提出的因式分解一定要乘開檢查。 像 $(s+5)(2s+15)(s+4)$ 這樣的猜測，乘開後是 $2s^{3}+33s^{2}+175s+300$——三次項、二次項與常數項都對得上，但一次項係數是 $175$，不是 $180$。只要檢查這一個係數，錯誤就現形了。

5. 5

   用數值方法求出實根。 由於 $f(-3)=3>0$ 而 $f(-3.1)=-0.452<0$，實根落在兩者之間；用牛頓法迭代收斂到

   $s\approx-3.0864085$

   它不在先前列出的排除值裡，所以是真正的解。

6. 6

   交代另外兩個根並驗算。 其餘兩根是共軛複數 $s\approx-6.7068\pm 1.9024i$，因此實數解恰好只有一個。把 $s=-3.0864085$ 代回：$\tfrac{1}{-1.0864}+\tfrac{1}{0.9136}+\tfrac{1}{5.9136}-\tfrac{1}{2.9136}=-0.9205+1.0946+0.1691-0.3432=0.0000$ ✓。