解不等式 (x + 1)(x − 3) > 0。

Step-by-step solution

1. 1

   保持因式形式。 乘積在兩個因式同號時為正、異號時為負。展開成 $x^2-2x-3$ 反而會丟掉正好讓這題變簡單的資訊。

2. 2

   找出每個因式的零點。

   $x+1=0\Rightarrow x=-1,\qquad x-3=0\Rightarrow x=3$

   乘積只可能在這兩點變號，所以它們把數線切成 $(-\infty,-1)$、$(-1,3)$ 與 $(3,\infty)$。

3. 3

   每個區間各取一個值測試。 在 $x=-2$：$(-1)(-5)=5>0$（兩個都是負的）。在 $x=0$：$(1)(-3)=-3<0$（正負相異）。在 $x=4$：$(5)(1)=5>0$（兩個都是正的）。規律是正、負、正。

4. 4

   用圖形的形狀確認這個規律。 展開後首項係數是 $+1$，所以拋物線開口向上：在兩根之間下探到軸的下方，在兩根之外則升到軸的上方。這正是測試得到的符號規律 — 一個很有用的獨立檢查。

5. 5

   選出區間並排除兩根。 不等式是嚴格的，所以乘積恰好等於 $0$ 的那兩點不算：

   $x<-1\qquad\text{或}\qquad x>3,\qquad(-\infty,-1)\cup(3,\infty)$

6. 6

   用掃描驗證。 在 $-10$ 到 $10$ 之間取 $2001$ 個點計算乘積，再與宣稱的解集合比對，每一個點都吻合 ✓。