解不等式 4x² − 4x + 1 > 0。

Step-by-step solution

1. 1

   在首項係數不是一的情況下比對完全平方的形式。 這裡 $4x^2=(2x)^2$、$1=1^2$，而中間項也對得起來：

   $2\cdot(2x)\cdot 1=4x\quad\Longrightarrow\quad 4x^2-4x+1=(2x-1)^2$

2. 2

   用判別式確認。 $\Delta=(-4)^2-4(4)(1)=16-16=0$，所以恰有一個重根，而且不會變號。

3. 3

   化成關於一個平方的敘述。

   $(2x-1)^2>0\iff 2x-1\neq 0$

4. 4

   解出要排除的那個方程式。

   $2x-1=0\quad\Longrightarrow\quad x=\frac12$

   所以除了 $\tfrac12$ 以外的每個實數都滿足這個不等式。

5. 5

   檢驗，並和首項係數為一的版本比較。 取 $x=\tfrac12$：$1-2+1=0$，不滿足 $>0$ $\checkmark$。取 $x=0$：$1>0$ $\checkmark$。它的結構和 $x^2-2x+1>0$ 完全相同，只是重根從 $1$ 移到 $\tfrac12$，因為底變成了 $2x-1$ 而不是 $x-1$。