解不等式 x^x > 1，其中 x 為正數。

Step-by-step solution

1. 1

   先確定定義域。 要讓 $x^{x}$ 在通常的意義下是實數，就必須取 $x>0$：因為 $x^{x}=e^{x\ln x}$ 這個寫法需要正的底數。（負底數只在分母為奇數的少數孤立有理數上才有實數值，所以標準的讀法把範圍限制在 $x>0$。）

2. 2

   兩邊取對數——因為兩邊都是正的，所以合法。 自然對數嚴格遞增，因此會保持不等號的方向：

   $x^{x}>1\iff\ln\!\left(x^{x}\right)>\ln1\iff x\ln x>0$

   這裡用到 $\ln\left(x^{x}\right)=x\ln x$ 與 $\ln1=0$。指數不等式就這樣變成了乘積的正負號問題。

3. 3

   分析乘積的正負號。 在定義域 $x>0$ 上，第一個因式 $x$ 永遠是正的，所以 $x\ln x$ 的正負完全由 $\ln x$ 決定：

   $x\ln x>0\iff\ln x>0\iff x>1$

4. 4

   寫出解集。

   $x>1,\qquad\text{即}\qquad(1,\infty)$

   在 $x=1$ 時值為 $1^{1}=1$，等號成立，所以端點被排除 ✓。

5. 5

   看看 1 以下會發生什麼事。 當 $0<x<1$ 時 $\ln x<0$，於是 $x\ln x<0$，因而 $x^{x}<1$。例如 $0.5^{0.5}=\sqrt{0.5}\approx0.707<1$ ✓，而 $1.5^{1.5}\approx1.837>1$ ✓。在 $(0,4)$ 上取 $399$ 個樣本點直接計算，確認了這個等價關係 ✓。

6. 6

   順帶記下 1 以下的一個有趣現象。 雖然在 $(0,1)$ 上 $x^{x}<1$，它在那裡並不是單調的：它在 $x=1/e\approx0.3679$ 處掉到最小值 $e^{-1/e}\approx0.6922$，然後當 $x\to0^{+}$ 時又回升趨近 $1$。所以不等式在整個 $(0,1]$ 上都不成立，但過程並不是單純遞減的。