設 f(x) = −x² + 7x + 2。把 (f(x + h) − f(x))/h 計算並化簡後，它具有 Ax + Bh + C 的形式。求 A、B、C。

Step-by-step solution

1. 1

   把出現 $x$ 的地方全部換成 $x+h$。

   $f(x+h)=-(x+h)^{2}+7(x+h)+2.$

   展開 $(x+h)^{2}=x^{2}+2xh+h^{2}$，並小心地把前面的負號分配進去：

   $f(x+h)=-x^{2}-2xh-h^{2}+7x+7h+2.$

   平方項前面那個負號，是最容易出錯的單一位置。

2. 2

   減去 $f(x)$，看著不含 $h$ 的項消失。

   $f(x+h)-f(x)=\bigl(-x^{2}-2xh-h^{2}+7x+7h+2\bigr)-\bigl(-x^{2}+7x+2\bigr).$

   $-x^{2}$、$7x$、$2$ 三項成對抵消，剩下

   $-2xh-h^{2}+7h.$

   活下來的每一項都含 $h$ —— 這是必然的，否則除以 $h$ 之後，$h\to0$ 時就會爆掉。

3. 3

   提出 $h$ 再約分。

   $\frac{h(-2x-h+7)}{h}=-2x-h+7,\qquad h\ne 0.$

4. 4

   對照題目要求的形式。 把結果寫成 $(-2)x+(-1)h+7$，再跟 $Ax+Bh+C$ 比較：

   $A=-2,\qquad B=-1,\qquad C=7.$

5. 5

   用導數與一個數值例子核對。 令 $h\to0$ 得到 $-2x+7$，這恰好是 $f(x)=-x^{2}+7x+2$ 的 $f'(x)$ —— 差商必然塌縮成導數。數值上取 $x=3$、$h=0.1$：$f(3.1)=-9.61+21.7+2=14.09$，$f(3)=-9+21+2=14$，所以差商是 $0.09/0.1=0.9$，而 $-2(3)-0.1+7=0.9$ ✓。