解不等式 −x² + 6x − 10 > 0。

Step-by-step solution

1. 1

   先翻成正的首項係數。 乘以 $-1$ 並把不等號反向：

   $x^2-6x+10<0$

2. 2

   用判別式檢查有沒有實根。 取 $a=1$、$b=-6$、$c=10$：

   $\Delta=(-6)^2-4(1)(10)=36-40=-4<0$

   判別式為負，代表這條拋物線從不與 $x$ 軸相交，所以整個式子的正負號從不改變。

3. 3

   判定那個唯一的正負號。 由於 $a=1>0$，拋物線開口向上，整條曲線完全落在軸的上方。配方之後看得更清楚：

   $x^2-6x+10=(x-3)^2+1\ge 1>0$

   最小值是 $1$，在 $x=3$ 時取得。

4. 4

   下結論。 一個永遠至少是 $1$ 的式子不可能 $<0$，所以解集是空集合：

   $x\in\varnothing$

5. 5

   直接檢查原式。 對每一個實數 $x$ 都有 $-x^2+6x-10=-\left[(x-3)^2+1\right]\le-1<0$，所以它從來不會是正的 $\checkmark$。抽驗頂點 $x=3$：$-9+18-10=-1$，這是左式所能取到的最大值。