解方程式 8x² = 16x。

Step-by-step solution

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   忍住把兩邊同除以 $x$ 的衝動。 除下去會得到 $8x=16$，於是 $x=2$——但這樣會弄丟 $x=0$ 這個解，因為除以 $x$ 等於默默假設了 $x\neq0$。除以一個可能為零的量從來就不安全，因式分解才安全。

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   把所有項移到同一邊。 兩邊同減 $16x$，讓右邊變成零——這正是乘積為零的性質所要求的形式：

   $8x^{2}-16x=0$

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   提出最大公因式。 兩項共有 $8$ 和一個 $x$，所以最大公因式是 $8x$：

   $8x(x-2)=0$

   展開回去檢查：$8x\cdot x-8x\cdot2=8x^{2}-16x$ ✓。

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   套用乘積為零的性質。 乘積等於零，只可能是某個因式為零：

   $8x=0\quad\Longrightarrow\quad x=0,\qquad x-2=0\quad\Longrightarrow\quad x=2$

   常數 $8$ 永遠不可能是零，所以它貢獻不出根——只有 $x$ 和 $(x-2)$ 才會。

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   把兩個根都代回原方程式驗算。 取 $x=0$：左邊 $8(0)=0$、右邊 $16(0)=0$ ✓。取 $x=2$：左邊 $8(4)=32$、右邊 $16(2)=32$ ✓。兩個都通過，確認這裡的二次式確實湊足了兩個根。

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   記下一般性的結論。 任何沒有常數項的二次式 $ax^{2}+bx=0$ 都可以分解成 $x(ax+b)=0$，因此必定有 $x=0$ 這個根，另一個根在 $x=-b/a$。本題 $-(-16)/8=2$ ✓。