化簡 (2x + 1)² − (2x − 1)²。

Step-by-step solution

1. 1

   選因式分解這條路，不要硬展開。 兩個平方之差一定可以分解：

   $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$

   這裡兩項本來就是平方，所以這個公式把一道看起來像二次式的題目，變成兩次簡短的減法加一次乘法。

2. 2

   定出兩個底數。

   $A = 2x+1, \qquad B = 2x-1$

   兩者都是 $x$ 的一次式，而且最高次項係數相同，這正是其中一個因式會塌縮成常數的原因。

3. 3

   算 A − B。 負號要分配到整個第二個括號上：

   $(2x+1) - (2x-1) = 2x + 1 - 2x + 1 = 2$

   $2x$ 項互相消去；如果忘了把 $-1$ 變號，得到的會是 $0$ 而不是 $2$，整個答案就毀了。

4. 4

   算 A + B 再相乘。

   $(2x+1) + (2x-1) = 4x$

   於是

   $(2x+1)^2 - (2x-1)^2 = 2 \cdot 4x = 8x$

5. 5

   用直接展開來核對。 展開後得到

   $(4x^2 + 4x + 1) - (4x^2 - 4x + 1) = 8x$

   $4x^2$ 與 $+1$ 都消掉了，只剩下交叉項 —— 這就是結果必然是一次式的結構性原因。取 $x = 5$，兩種寫法都給出 $121 - 81 = 40 = 8 \cdot 5$。