解不等式 x² · x − 5 > 0。

Step-by-step solution

1. 1

   先把式子化簡。 同底數的冪相乘時指數要相加：$x^2\cdot x=x^{2+1}=x^3$。所以這是三次不等式，不是二次的：

   $x^3-5>0$

   把 $x^2x$ 誤讀成 $x^2$ 或 $2x^2$，會讓整題完全變成另一題。

2. 2

   把三次項孤立出來。 兩邊同加 $5$：

   $x^3>5$

3. 3

   兩邊同取立方根。 立方與平方最關鍵的差別就在這裡：函數 $t\mapsto t^3$ 在整個 $\mathbb{R}$ 上嚴格遞增且為一對一，所以開立方根會保持不等號的方向，既不需要 $\pm$，也不必分情況討論：

   $x>\sqrt[3]{5}$

   相對地，$x^2>5$ 就會給出兩段式的答案 $x>\sqrt5$ 或 $x<-\sqrt5$。

4. 4

   算出這個界線的數值。

   $\sqrt[3]{5}=1.709976\ldots\approx1.71$

   快速核對一下大小：$1.7^3=4.913$（略小於 $5$），而 $1.71^3=5.000211$（略大於），所以這個根落在兩者之間 ✓。

5. 5

   寫出解集。 只有一條射線，左端是開的，因為原不等式是嚴格不等式：

   $x>\sqrt[3]{5},\qquad\left(\sqrt[3]{5},\ \infty\right)$

6. 6

   用掃描法驗證。 在 $-5$ 到 $5$ 之間取 $10{,}001$ 個點計算 $x^3-5$，再把正負號與 $x>\sqrt[3]{5}$ 比對，每一點都吻合 ✓——包括負數區，那裡三次式為強負值，正確地被排除。