把函數 f(x) = |x − 1| + 5 向上平移 4 單位、向右平移 2 單位，寫出新函數的式子。

Step-by-step solution

1. 1

   從已給的形式裡讀出頂點。 在 $f(x)=|x-h|+k$ 中頂點是 $(h,k)$，所以 $f(x)=|x-1|+5$ 的轉折點在

   $(1,5)$

   兩次平移移動的都是這一個點，而 V 形兩條邊的斜率始終是 $\pm 1$。

2. 2

   用 $x\to x-2$ 實現右移 2。

   $\left|(x-2)-1\right|+5=|x-3|+5$

   注意裡面的常數從 $1$ 變成了 $3$：向右平移會讓 $h$ 變大，儘管在絕對值內部做的動作是減法。

3. 3

   在外面加 4，實現上移 4。

   $|x-3|+5+4=|x-3|+9$

4. 4

   寫出答案，並確認頂點移對了。

   $f(x)=|x-3|+9,\qquad \text{頂點 }(3,9)$

   從 $(1,5)$ 到 $(3,9)$ 正是右移 $2$、上移 $4$ $\checkmark$——看頂點的位移是最乾淨的一種驗證方式。

5. 5

   再拿一個非頂點的點核一下。 原函數通過 $(0,6)$，因為 $|0-1|+5=6$。把這個點右移 $2$、上移 $4$，預測應落在 $(2,10)$，而新的式子給出 $|2-3|+9=1+9=10\;\checkmark$。另外注意，整條圖形現在都在 $y=9$ 及其上方，所以這個函數根本沒有 $x$ 軸上的截距。