解方程式 |x| + |x − 1| = 3。

Step-by-step solution

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   先找出斷點。 每個絕對值都在括號內為零的地方換公式：$|x|$ 在 $x=0$，$|x-1|$ 在 $x=1$。這兩點把實數線切成 $x<0$、$0\le x<1$ 與 $x\ge 1$ 三段。在每一段裡兩個絕對值都能換成單純的一次式，這正是分段的用意。

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   情況 1：$x<0$。 兩個括號內都是負的，所以 $|x|=-x$、$|x-1|=1-x$：

   $-x+(1-x)=3\ \Longrightarrow\ -2x+1=3\ \Longrightarrow\ x=-1$

   接著檢查這一段的條件：$-1<0$ ✓，所以 $x=-1$ 是真正的解。

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   情況 2：$0\le x<1$。 這裡 $|x|=x$，但 $|x-1|=1-x$：

   $x+(1-x)=3\ \Longrightarrow\ 1=3$

   含 $x$ 的項互相消掉，剩下的敘述是假的，所以這個區間不提供任何解。從幾何看，$|x|+|x-1|$ 是 $x$ 到 $0$ 與到 $1$ 的距離總和，在這兩點之間處處恰好等於 $1$ —— 永遠到不了 $3$。

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   情況 3：$x\ge 1$。 兩個括號內都非負，所以 $|x|=x$、$|x-1|=x-1$：

   $x+(x-1)=3\ \Longrightarrow\ 2x=4\ \Longrightarrow\ x=2$

   檢查條件：$2\ge 1$ ✓，所以 $x=2$ 成立。

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   候選解一定要拿回它自己那一段的條件去檢驗。 這裡最典型的錯誤，就是留下了某一段方程式解出的值，卻沒發現它其實落在別的區間。兩個存活下來的值都通過檢驗，代回原式也確認無誤：$|-1|+|-2|=1+2=3$ ✓，而 $|2|+|1|=2+1=3$ ✓。

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   寫出解集。 $x=-1$ 或 $x=2$。用距離來理解就知道為什麼恰好有兩個解：你需要到 $\{0,1\}$ 這一對點的距離總和是 $3$，而這種情形在線段的每一側各發生一次。