對 x³ − 5x² − 7x + 41 因式分解，或求出它的根。

Step-by-step solution

1. 1

   先試有理根。 由有理根定理，最高次項係數是 $1$，所以任何有理根都必須整除常數項 $41$——而 $41$ 是質數，因此候選值只有 $\pm1$ 與 $\pm41$：

   $f(1)=1-5-7+41=30,\qquad f(-1)=-1-5+7+41=42$

   而 $f(\pm 41)$ 由 $41^3$ 主導，離零遠得很。所以它沒有有理根，這個三次式在 $\mathbb{Q}$ 上不能分解。

2. 2

   別就此收手——數一數變號次數。 無理根照樣可能存在，而三次式至少有一個實根。把 $f$ 列成表：

   $f(-3)=-10,\quad f(0)=41,\quad f(3)=2,\quad f(4)=-3,\quad f(5)=6$

   這裡出現了三次變號：$(-3,0)$ 上一次、$(3,4)$ 上一次、$(4,5)$ 上一次。所以這個三次式有三個相異的實根，而不是一個——流傳的那種「它只有一個實根、在 $-2.721$ 附近」的說法錯了兩處，因為 $f(-2.721)=2.88$ 也根本不是零。

3. 3

   用導數的判別式確認確實有三個根。 $f'(x)=3x^2-10x-7$ 的根是 $x=\frac{10\pm\sqrt{184}}{6}$，也就是在 $x=-0.60$ 附近有一個極大值、在 $x=3.93$ 附近有一個極小值。由於 $f(-0.60)\approx 43.2>0$ 而 $f(3.93)\approx -3.0<0$，曲線先升到橫軸上方，再下潛到橫軸下方，然後又升上來——正是三次穿越橫軸的那種形態。

4. 4

   用二分法逐一定位。 把每個區間收縮到機器精度：

   $x_1=-2.7875545,\qquad x_2=3.2205249,\qquad x_3=4.5670296$

5. 5

   用根與係數關係驗算。 對 $x^3-5x^2-7x+41$，三個根必須滿足 $\sum x_i=5$、$\sum_{i<j}x_ix_j=-7$ 與 $x_1x_2x_3=-41$。數值上算出來正好是 $5.000$、$-7.000$ 與 $-41.000$ ✓，所以三個根都對，而且一個都沒漏。

6. 6

   寫出結論。 這個多項式在有理數範圍內不可分解，但在實數範圍內可以分解成

   $f(x)\approx (x+2.7875545)(x-3.2205249)(x-4.5670296)$