解不等式 (x − 3)/4 < 6 − (3 − 4x)/2，並寫出解集。

Step-by-step solution

1. 1

   乘最小公分母，而不是把每個分式各自處理。 分母是 $4$ 和 $2$，所以 $\operatorname{lcm}(4,2)=4$。不等式乘上正數 $4$，$<$ 的方向保持不變 —— 這正是第一步能這麼放心走的唯一理由。（若乘的是負數，就必須把不等號變向。）

2. 2

   把 4 分配到右邊的每一項上，$6$ 也不能漏。

   $4\cdot\frac{x-3}{4}<4\cdot 6-4\cdot\frac{3-4x}{2}\ \Longrightarrow\ x-3<24-2(3-4x)$

   這裡最常見的錯誤是只乘了分式、把 $6$ 留在原地。

3. 3

   展開括號，盯住它前面的負號。 $-2$ 要乘到括號裡兩項上：

   $-2(3-4x)=-6+8x$

   於是

   $x-3<24-6+8x\ \Longrightarrow\ x-3<18+8x$

   注意 $-2\cdot(-4x)=+8x$：負負得正，這也是含 $x$ 的項最終落在較大那一邊的原因。

4. 4

   把含 $x$ 的項歸到能讓係數保持為正的那一邊。 兩邊減去 $x$：

   $-3<18+7x$

   選這個方向可以完全避免除以負數，也就不需要變號了。

5. 5

   把 $x$ 單獨解出來。 減去 $18$，再除以正數 $7$：

   $-21<7x\ \Longrightarrow\ -3<x\ \Longrightarrow\ x>-3$

   用區間表示，解集是 $(-3,\infty)$。

6. 6

   裡外各取一個值驗證。 當 $x=0$（在解集內）：左邊 $=-\tfrac34$，右邊 $=6-\tfrac32=4.5$，而 $-0.75<4.5$ ✓。當 $x=-4$（在解集外）：左邊 $=-\tfrac74=-1.75$，右邊 $=6-\tfrac{19}{2}=-3.5$，而 $-1.75<-3.5$ 不成立 ✓。邊界 $x=-3$ 使兩邊相等，正好說明它要被排除。