解不等式 (x² − 4x + 3)/(x² − 9) ≤ 0。

Step-by-step solution

1. 1

   先把分子和分母都因式分解。

   $x^2-4x+3=(x-1)(x-3),\qquad x^2-9=(x-3)(x+3)$

   於是不等式成為

   $\frac{(x-1)(x-3)}{(x-3)(x+3)}\le0$

2. 2

   約分之前，先把定義域記下來。 分母在 $x=3$ 與 $x=-3$ 處為零，所以這兩個點從一開始就要排除：

   $x\neq3,\qquad x\neq-3$

   這一條必須先寫下來，因為下一步會讓 $x=3$ 從視野裡消失。

3. 3

   約掉公因式，但把排除條件留住。 當 $x\neq3$ 時，共有的 $(x-3)$ 可以約去：

   $\frac{x-1}{x+3}\le0\qquad(x\neq3,\ x\neq-3)$

   這次約分在 $x=3$ 處造出的是一個可去的空心點，而不是變號點——原函數在那裡根本沒有值，化簡後的函數卻有。忘掉這一點正是本題的標準陷阱。

4. 4

   找出化簡後分式的臨界點，再逐段試算。 它們是 $x=1$（分子零點）與 $x=-3$（分母零點）。取 $x=-4$：$\tfrac{-5}{-1}=5>0$。取 $x=0$：$\tfrac{-1}{3}<0$。取 $x=2$：$\tfrac{1}{5}>0$。所以只有 $(-3,1)$ 上是負的。

5. 5

   定端點。 在 $x=1$ 處分式等於 $0$，而 $\le0$ 把零算進來，所以 $x=1$ 要取。在 $x=-3$ 處式子沒有定義，所以它不取。至於 $x=3$，雖然它本來就落在 $(-3,1]$ 之外，但依舊被定義域排除——把這一點說出來，推理才算完整。

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   寫出答案並驗證。

   $x\in(-3,1]$

   用精確分數在 $[-10,10]$ 上取 $4001$ 個有理點，代入未化簡的原分式求值（跳過 $x=\pm3$），不等式成立的點恰好就是 $(-3,1]$ 中的點 ✓。