化簡 (x² 的七次方根)/((1/2)y) × (x² 的立方根)/(y² 的立方根) × x/(y 的立方根) × ((9/7)√(y/3))/(5/x)。

Step-by-step solution

1. 1

   把每個根式都換成分數指數。 用 $\sqrt[n]{a^m}=a^{m/n}$：$\sqrt[7]{x^2}=x^{2/7}$、$\sqrt[3]{x^2}=x^{2/3}$、$\sqrt[3]{y^2}=y^{2/3}$、$\sqrt[3]{y}=y^{1/3}$，以及 $\sqrt{\tfrac y3}=\tfrac{y^{1/2}}{\sqrt3}$。要把根指數不同的根式合併，指數形式是唯一實際可行的辦法。

2. 2

   把分式裡的分數係數清掉。 除以 $\tfrac12 y$ 等於乘上 $\tfrac{2}{y}$，除以 $\tfrac5x$ 等於乘上 $\tfrac x5$： $\frac{2x^{2/7}}{y}\times\frac{x^{2/3}}{y^{2/3}}\times\frac{x}{y^{1/3}}\times\frac{9x}{35}\cdot\frac{y^{1/2}}{\sqrt3}.$ 注意第四個因式額外貢獻了一個 $x$，這一點很容易漏掉。

3. 3

   把數字係數收攏。 $2\times\tfrac{9}{35} = \tfrac{18}{35}$，而 $\tfrac{1}{\sqrt3}$ 先留著：常數是 $\dfrac{18}{35\sqrt3}$。

4. 4

   把 x 的指數相加。 出現的次方有 $x^{2/7}$、$x^{2/3}$、$x^1$（第三個因式）與 $x^1$（來自第四個）： $\frac27+\frac23+1+1 = \frac{6}{21}+\frac{14}{21}+\frac{42}{21} = \frac{62}{21}.$

5. 5

   把 y 的指數相加。 分子提供 $y^{1/2}$；分母提供 $y^{1}\cdot y^{2/3}\cdot y^{1/3} = y^{2}$。因此 $y^{1/2-2} = y^{-3/2} = \frac{1}{y^{3/2}}.$

6. 6

   有理化並約簡常數。 $\dfrac{18}{35\sqrt3} = \dfrac{18\sqrt3}{105} = \dfrac{6\sqrt3}{35}$，所以 $\text{式子} = \frac{6\sqrt3\,x^{62/21}}{35\,y^{3/2}}.$

7. 7

   數值檢查。 取 $x=2$、$y=3$，原乘積算出 $0.44230024$，而 $\dfrac{6\sqrt3\cdot 2^{62/21}}{35\cdot 3^{3/2}} = 0.44230024$——到小數第八位完全相同。