解 3.68x³ + 92.3x² − 500 = 0，求出全部三個實根到小數點後第四位。

Step-by-step solution

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   先注意缺了一次項，而且沒有有理根。 多項式 $f(x)=3.68x^{3}+92.3x^{2}-500$ 沒有 $x$ 項，而小數係數也排除了漂亮的有理根。所以只能用數值方法定位這些根——不過「有幾個」倒是可以先定下來。

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   在一個夠寬的區間掃描變號。 把 $f$ 從 $-40$ 到 $20$ 以小步長逐點計算，會看到三次變號，分別在 $x=-24.86$、$x=-2.45$ 與 $x=2.23$ 附近。三次方程式最多只有三個實根，所以三個全是實根，沒有複數根。若只取樣 $[0,3]$ 這一段——其中 $f(2)=-101.36$ 而 $f(2.5)=+134.375$——就只會找到其中一個。

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   對每個框住的區間做二分法。 每個區間對半切到 $|f|<10^{-9}$ 為止：

   $x_{1}\approx-24.861705,\qquad x_{2}\approx-2.450227,\qquad x_{3}\approx 2.230411.$

   那個絕對值很大的負根之所以存在，是因為 $92.3x^{2}$ 這一項一路壓制到 $x\approx-25$ 附近，三次項才終於反超——不掃得夠寬，這個根很容易漏掉。

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   用根與係數關係檢驗。 對 $ax^{3}+bx^{2}+cx+d$，三根滿足 $\sum x_{i}=-\tfrac{b}{a}$ 與 $\prod x_{i}=-\tfrac{d}{a}$：

   $-24.861705-2.450227+2.230411=-25.081522=-\frac{92.3}{3.68} ✓,$

   $(-24.861705)(-2.450227)(2.230411)=135.8695\approx\frac{500}{3.68} ✓.$

   這是決定性的檢驗：任何一組宣稱的三個根，只要和不等於 $-25.0815$，不管每個值看起來多像，都是錯的。

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   代回驗算。 $f(-24.861705)=4.5\times10^{-4}$、$f(-2.450227)=-1.6\times10^{-4}$、$f(2.230411)=5.2\times10^{-5}$ ✓。四捨五入到小數點後第四位，三個根是 $-24.8617$、$-2.4502$ 與 $2.2304$；注意正根是 $2.2304$ 而不是 $2.2307$，所以拿粗糙的二分結果多報幾位數是很危險的。