解方程式 4x² − x − 2 = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   小心讀出係數。 中間項是 $-x$，所以 $b=-1$，不是 $1$：

   $a=4,\qquad b=-1,\qquad c=-2$

2. 2

   先試十字交乘法，看它失敗。 我們需要兩個整數，乘積是 $ac=-8$、和是 $-1$：可能的組合是 $(1,-8),(2,-4),(4,-2),(8,-1)$，它們的和是 $-7,-2,2,7$。沒有一個是 $-1$，所以整數分解不存在，公式解才是對的工具。

3. 3

   計算判別式。

   $\Delta=(-1)^2-4(4)(-2)=1+32=33$

4. 4

   代入公式解。 注意 $-b=-(-1)=+1$：

   $x=\frac{1\pm\sqrt{33}}{8}$

   因為 $33=3\cdot 11$ 沒有平方因數，$\sqrt{33}$ 已是最簡形式，也沒有東西能和 $8$ 約掉。

5. 5

   用數值檢驗。 $\sqrt{33}\approx 5.7446$，所以 $x\approx 0.8431$ 或 $x\approx-0.5931$。於是 $4(0.8431)^2-0.8431-2\approx 2.843-2.843\approx 0$ $\checkmark$。根與係數關係：兩根之和是 $\tfrac{1}{4}$、之積是 $-\tfrac{1}{2}$，與 $-\tfrac{b}{a}$ 和 $\tfrac{c}{a}$ 吻合。