解方程式 (x − 2x/(x + 2))² + 4x²/(x + 2) = 5。

Step-by-step solution

1. 1

   先把括號化簡 —— 這就是全題的訣竅所在。 把兩項通分到公分母 $x+2$：

   $x-\frac{2x}{x+2}=\frac{x(x+2)-2x}{x+2}=\frac{x^{2}+2x-2x}{x+2}=\frac{x^{2}}{x+2}$

   所以那個看起來很亂的括號其實就是 $\dfrac{x^{2}}{x+2}$。

2. 2

   引入變數代換。 令

   $y=\frac{x^{2}}{x+2}$

   那麼第二項就是 $\dfrac{4x^{2}}{x+2}=4y$，整個式子變成一個普通的一元二次方程式：

   $y^{2}+4y=5\quad\Longrightarrow\quad y^{2}+4y-5=0$

3. 3

   解出 y。

   $(y+5)(y-1)=0\quad\Longrightarrow\quad y=1\ \text{或}\ y=-5$

4. 4

   把 y = 1 還原回 x。

   $\frac{x^{2}}{x+2}=1\ \Longrightarrow\ x^{2}=x+2\ \Longrightarrow\ x^{2}-x-2=0\ \Longrightarrow\ (x-2)(x+1)=0$

   得 $x=2$ 或 $x=-1$（兩個都可以用，因為都不等於 $-2$）。

5. 5

   再看 y = −5 能不能給出實數解。

   $\frac{x^{2}}{x+2}=-5\ \Longrightarrow\ x^{2}=-5x-10\ \Longrightarrow\ x^{2}+5x+10=0$

   它的判別式是 $25-40=-15<0$，所以這一支沒有實根。不加檢驗就把它丟掉，正是這道題唯一可能出錯的地方。

   $\boxed{x=2\ \text{或}\ x=-1}$

6. 6

   代回原式驗算。 取 $x=2$：括號是 $2-\tfrac{4}{4}=1$，第二項是 $\tfrac{16}{4}=4$，所以 $1+4=5$ ✓。取 $x=-1$：括號是 $-1-\tfrac{-2}{1}=1$，第二項是 $\tfrac{4}{1}=4$，所以 $1+4=5$ ✓。