解 x⁸ − 2x⁷ + 3x⁶ − 4x⁵ + 5x⁴ − 4x³ + 3x² − 2x + 2 = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   先讀係數的排列。 係數依序是 $1, -2, 3, -4, 5, -4, 3, -2, 2$——除了最後一項是 $2$（對稱的話應該是 $1$）之外，整串是左右對稱的。像 $1, -2, 3, -4, 5, -4, 3, -2, 1$ 這種對稱的 $8$ 次排列，正是「某個四次式的平方」的招牌，所以先把那一塊抓出來。

2. 2

   找出那個平方。 把正負交錯的四次式平方，恰好得到那個對稱的排列：

   $\left(x^4 - x^3 + x^2 - x + 1\right)^2 = x^8 - 2x^7 + 3x^6 - 4x^5 + 5x^4 - 4x^3 + 3x^2 - 2x + 1$

   與題目的多項式逐項對照，每個係數都相同，只有常數項恰好大了 $1$。

3. 3

   把整個多項式改寫。 因此

   $P(x) = \left(x^4 - x^3 + x^2 - x + 1\right)^2 + 1$

   這個恆等式就是整題的解答——它讓「有沒有實根」變得一目瞭然，也乾淨地交代了複數根。

4. 4

   推得沒有實數解。 對實數 $x$ 而言平方非負，所以

   $P(x) \ge 0 + 1 = 1 > 0$

   對每個實數 $x$ 都成立。因此方程式 $P(x) = 0$ 沒有實數解。數值上 $P$ 在實數上的最小值約為 $1.4537$，在 $x \approx 0.6058$ 附近取得——遠在零的上方，正如恆等式所預告。

5. 5

   描述複數根。 在 $\mathbb{C}$ 上，方程式成為

   $\left(x^4 - x^3 + x^2 - x + 1\right)^2 = -1 \ \Longleftrightarrow \ x^4 - x^3 + x^2 - x + 1 = \pm i$

   所以八個根分裂成兩個四次式。（左邊那個四次式正是分圓多項式 $\Phi_{10}$，等於 $\frac{x^5+1}{x+1}$。）數值上這些根是

   $x \approx -0.4661 \pm 0.7670i, \quad -0.2913 \pm 1.1399i, \quad 0.6631 \pm 0.8872i, \quad 1.0943 \pm 0.5143i$

   全都是真正的非實數，並且如實係數多項式所要求的，構成四對共軛。

6. 6

   順帶說明哪些路走不通。 這個多項式沒有有理根；窮盡搜尋也顯示它在整數範圍內既無法分解成「二次式乘六次式」，也無法分解成兩個四次式。所以「完全平方加一」這個恆等式並不是眾多路徑之一——它就是唯一的那條路。