把 (x − 1)(x − 2)(x + 3)(x + 6) − 5x² 完全分解。

Step-by-step solution

1. 1

   把括號配成常數項相同的兩對。 四個因式分成兩對有三種分法；有用的那一種會讓常數項一致。因為 $(-1)(6)=-6$ 且 $(-2)(3)=-6$，把第一個配第四個、第二個配第三個：

   $(x-1)(x+6)=x^{2}+5x-6,\qquad (x-2)(x+3)=x^{2}+x-6.$

   其他配法會得到常數項不同的兩個二次式，沒有共同結構可以利用。

2. 2

   替共同的部分做變數代換。 兩個二次式都含有 $x^{2}+x-6$，因為

   $x^{2}+5x-6=\left(x^{2}+x-6\right)+4x.$

   令 $y=x^{2}+x-6$，式子就變成

   $(y+4x)\,y-5x^{2}=y^{2}+4xy-5x^{2}.$

   這現在是關於 $y$ 與 $x$ 兩個量的齊次二次式——比一般的四次式好處理太多。

3. 3

   分解這個關於 $y$ 的二次式。 找兩項，乘積是 $-5x^{2}$、和是 $4x$：就是 $5x$ 與 $-x$。於是

   $y^{2}+4xy-5x^{2}=(y+5x)(y-x).$

   驗算很直接：$(y+5x)(y-x)=y^{2}-xy+5xy-5x^{2}=y^{2}+4xy-5x^{2}$ ✓。

4. 4

   把變數換回去。 在每個因式裡代回 $y=x^{2}+x-6$：

   $y+5x=x^{2}+x-6+5x=x^{2}+6x-6,\qquad y-x=x^{2}+x-6-x=x^{2}-6.$

   因此

   $(x-1)(x-2)(x+3)(x+6)-5x^{2}=\left(x^{2}+6x-6\right)\left(x^{2}-6\right).$

5. 5

   驗算並看看根。 取 $x=1.7$ 做數值檢查：原式得 $-22.0499$，分解後的形式也得 $-22.0499$ ✓。兩個因式在有理數上都不可再分：$x^{2}-6$ 的根是 $\pm\sqrt6$，而 $x^{2}+6x-6$ 的判別式是 $36+24=60$，根為 $-3\pm\sqrt{15}$。四個根全是無理數，這就是為什麼再怎麼試有理根也找不出這個分解。