解三次方程式 49 − 112x + 21x² − x³ = 0。

Step-by-step solution

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   先把三次式整理成首一的標準形式。 把順序倒過來寫，再整條乘以 $-1$：

   $x^3 - 21x^2 + 112x - 49 = 0$

   下面所有的根檢驗與消項公式，都預設最高次係數是 $+1$。

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   排除有理根。 依有理根定理，唯一的候選值是 $\pm 1, \pm 7, \pm 49$。逐一代入：$f(1) = 43$、$f(-1) = -183$、$f(7) = 343 - 1029 + 784 - 49 = 49$、$f(-7) = -2205$，而 $f(\pm 49)$ 離零更遠。所以這個三次式在有理數上分解不了，也沒有綜合除法的捷徑可走。

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   用平移消掉二次項。 對 $x^3 + ax^2 + bx + c$，代換 $x = y - \tfrac{a}{3}$ 可以消去平方項。這裡 $a = -21$，所以取 $x = y + 7$：

   $(y+7)^3 - 21(y+7)^2 + 112(y+7) - 49 = y^3 - 35y + 49 = 0$

   化簡後的形式 $y^3 + py + q$ 中，$p = -35$、$q = 49$。

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   先確認三個根都是實根，再套餘弦公式。 三次方程式的判別項是 $\left(\tfrac{q}{2}\right)^2 + \left(\tfrac{p}{3}\right)^3 = 600.25 - 1587.963 = -987.713 < 0$，也就是所謂的不可約情形：三個相異實根，但卡丹的根式公式只能透過複數把它們寫出來。三角代換 $y = 2\sqrt{-p/3}\,\cos\theta$ 正好繞過這個麻煩：

   $y_k = 2\sqrt{\frac{35}{3}}\,\cos\!\left(\frac{1}{3}\arccos\!\left(-\frac{21}{10}\sqrt{\frac{3}{35}}\right) - \frac{2\pi k}{3}\right), \quad k = 0, 1, 2$

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   平移回去並求值。 因為 $x = y + 7$，而 $2\sqrt{35/3} \approx 6.8313$、$\arccos(-0.6148170) \approx 2.2329502$ 弧度，三個根是

   $x_0 \approx 12.0248, \qquad x_1 \approx 8.4956, \qquad x_2 \approx 0.4797$

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   用根與係數關係檢驗。 三根之和必須是 $21$，乘積必須是 $49$：$12.0248 + 8.4956 + 0.4797 = 21.0001$，而 $12.0248 \times 8.4956 \times 0.4797 = 49.01$。兩項都吻合，但常被引用的那組小數 $0.4582,\ 9.8091,\ 10.7327$ 就不然——它們的和確實是 $21$，乘積卻是 $48.24$，所以那三個數並不是這條三次方程式的根。