化簡繁分式 [(6y² + y − 1)/(4y² + 4y + 1)] ÷ [(3y² + 2y − 1)/(2y² − 7y − 4)]。

Step-by-step solution

1. 1

   把繁分式讀成一個除法。 分子與分母本身又是分式的分式，意思就是

   $\frac{6y^{2}+y-1}{4y^{2}+4y+1}\div\frac{3y^{2}+2y-1}{2y^{2}-7y-4}$

2. 2

   把四個二次式全部因式分解。

   $6y^{2}+y-1=(3y-1)(2y+1),\qquad 4y^{2}+4y+1=(2y+1)^{2}$

   $3y^{2}+2y-1=(3y-1)(y+1),\qquad 2y^{2}-7y-4=(2y+1)(y-4)$

   注意 $4y^{2}+4y+1$ 是完全平方式——看出這一點就省下一輪十字交乘。

3. 3

   把除式取倒數再組合起來。

   $\frac{(3y-1)(2y+1)}{(2y+1)^{2}}\cdot\frac{(2y+1)(y-4)}{(3y-1)(y+1)}$

4. 4

   有系統地約分。 把因式分解的形式乘開來看，分子是 $(3y-1)(2y+1)^{2}(y-4)$，分母是 $(2y+1)^{2}(3y-1)(y+1)$。$(3y-1)$ 與 $(2y+1)^{2}$ 上下都有，所以完全約掉：

   $\frac{(3y-1)(2y+1)^{2}(y-4)}{(2y+1)^{2}(3y-1)(y+1)}=\frac{y-4}{y+1}$

   $\boxed{\dfrac{y-4}{y+1}}\qquad\left(y\neq -\tfrac12,\ \tfrac13,\ -1,\ 4\right)$

5. 5

   用測試值檢查。 取 $y=0$：上面的分式是 $\tfrac{-1}{1}=-1$，下面的分式是 $\tfrac{-1}{-4}=\tfrac14$，所以商是 $-1\div\tfrac14=-4$；答案給出 $\tfrac{-4}{1}=-4$ ✓。

6. 6

   寫出所有排除值。 除了一眼看得到的 $y=-1$，原式還要求 $y\neq-\tfrac12$（兩個內層分式的分母），以及 $y\neq\tfrac13$ 與 $y\neq 4$（好讓除式既不為零也有定義）。