求 4x = 3x² − 7x + 9 的解，答案寫到三位有效數字。

Step-by-step solution

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   把所有項移到平方項為正的那一邊。 兩邊同減 $4x$，讓等式右邊為 $=0$ 且首項係數為正：

   $0=3x^{2}-7x-4x+9\quad\Longrightarrow\quad 3x^{2}-11x+9=0.$

2. 2

   在動用公式之前先看能不能分解。 你需要兩個整數，乘積是 $3\cdot 9=27$、和是 $-11$；可能的組合是 $(-1,-27)$ 與 $(-3,-9)$，它們的和分別是 $-28$ 與 $-12$。都不對，所以兩根是無理數，公式解才是對的工具。

3. 3

   讀出係數並計算判別式。 取 $a=3$、$b=-11$、$c=9$：

   $b^{2}-4ac=(-11)^{2}-4(3)(9)=121-108=13.$

   因為 $13>0$，有兩個相異實根；又因為 $13$ 不是完全平方數，兩根都是無理數 —— 這也與題目要求四捨五入的指示一致。

4. 4

   代入公式解。

   $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{11\pm\sqrt{13}}{6}.$

5. 5

   算出數值並取三位有效數字。 取 $\sqrt{13}=3.605551\ldots$：

   $x=\frac{11+3.605551}{6}=2.434258\ldots\approx 2.43,\qquad x=\frac{11-3.605551}{6}=1.232408\ldots\approx 1.23.$

   只在最後這一步才四捨五入 —— 太早把 $\sqrt{13}$ 取近似，可能會動到第三位有效數字。

6. 6

   用精確根驗算。 根與係數關係給出 $x_1+x_2=\tfrac{11}{3}\approx 3.6667$、$x_1x_2=\tfrac{9}{3}=3$；算出來的兩個值相加是 $3.66666$……也就是 $\tfrac{22}{6}$，的確 $2.434258+1.232408=3.666666=\tfrac{11}{3}$，與 $-b/a$ 吻合。兩者的乘積是 $2.434258\times 1.232408=3.0000$，與 $c/a=3$ 吻合。