將 x¹⁰⁵ + 1 因式分解。

Step-by-step solution

1. 1

   先看指數的奇偶。 和 $x^{n}+1$ 在整數範圍能以 $(x+1)$ 為因式，恰好發生在 $n$ 是奇數的時候。直接用因式定理測試：代入 $x=-1$ 得到

   $(-1)^{105}+1=-1+1=0\ \checkmark$

   因為 $105$ 是奇數。所以 $x+1$ 整除 $x^{105}+1$，沒有餘式。

2. 2

   套用奇次方和的公式。 取 $a=x$、$b=1$、$n=105$：

   $a^{n}+b^{n}=(a+b)\left(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}-\cdots-ab^{n-2}+b^{n-1}\right)$

   $b=1$ 的每一個次方都等於 $1$，所以另一個因式塌縮成只有 $x$ 的交錯次方。

3. 3

   寫出因式分解。

   $x^{105}+1=(x+1)\left(x^{104}-x^{103}+x^{102}-\cdots-x+1\right)$

   另一個因式有 $105$ 項，次數從 $104$ 一路降到 $0$，符號正負交錯。因為最高次 $104$ 是偶數，領導項是 $+$；而項數是奇數，所以常數項也是 $+1$。

4. 4

   數值驗算。 在 $x=2,3,5,-2,-3$ 用精確整數運算計算兩邊，每一次都相等 ✓。次數也對得上：$1+104=105$ ✓。

5. 5

   注意這還不是完整的分解。 因為 $105=3\times5\times7$，沿著每一個因數都還能再拆。例如 $x^{105}+1=\left(x^{35}\right)^{3}+1$ 也可以分解成 $\left(x^{35}+1\right)\left(x^{70}-x^{35}+1\right)$。在 $\mathbb{Q}$ 上完全分解時，$x^{105}+1$ 會拆成分圓多項式 $\Phi_{d}(x)$ 的乘積，其中 $d$ 跑遍 $210$ 的因數中不整除 $105$ 的那些——上面的 $(x+1)$ 形式只是第一步、也是最好用的一步。