求一對一函數 t(x) = 3√(x + 6) 的反函數，並寫出反函數的定義域。

Step-by-step solution

1. 1

   先記下原函數的定義域與值域。 根號內必須非負，所以 $x+6\ge0$ 給出定義域 $x\ge-6$；又因為 $\sqrt{\ }$ 傳回的值非負，值域是 $t(x)\ge0$。這兩件事之後會分別變成反函數的值域與定義域 —— 這就是先寫下來的價值。

2. 2

   令 $y=t(x)$ 並把兩個變數對調。 寫成 $y=3\sqrt{x+6}$，再把 $x$ 與 $y$ 互換：

   $x=3\sqrt{y+6}.$

   對調正是「把輸入與輸出反過來」的具體寫法；之後再解出 $y$ 就得到反函數的對應規則。

3. 3

   平方之前先把根號單獨留下。 先除以 $3$：

   $\frac{x}{3}=\sqrt{y+6}.$

   在 $3$ 還在外面時就平方，會得到 $x^{2}=9(y+6)$ —— 在這一題結果相同，但養成先把根號孤立的習慣，能避免係數是「加上去」而非「乘上去」時出錯。

4. 4

   平方後解出 $y$。 兩邊平方：

   $\frac{x^{2}}{9}=y+6\;\Longrightarrow\;y=\frac{x^{2}}{9}-6.$

   所以反函數的規則是 $t^{-1}(x)=\dfrac{x^{2}}{9}-6$。

5. 5

   把定義域限制補上 —— 它是答案的一部分。 拋物線 $\frac{x^{2}}{9}-6$ 在整個 $\mathbb{R}$ 上並不是一對一的；只有與 $t$ 的值域相符的那一支才算數：

   $t^{-1}(x)=\frac{x^{2}}{9}-6,\qquad x\ge0.$

   兩個方向的合成都檢查一下：$t\!\left(t^{-1}(4.2)\right)=4.2$ ✓、$t^{-1}\!\left(t(3.3)\right)=3.3$ ✓。少了這個限制，$t^{-1}(-3)=-5$ 就會錯誤地宣稱 $t(-5)=-3$，但實際上 $t(-5)=3$。