解聯立不等式 −x² + 3x + 4 ≥ 0 且 3x² − 5x ≥ 0，並用區間的聯集寫出解集合。

Step-by-step solution

1. 1

   把「且」當成取交集的指令。 每個不等式都有自己的解集合；聯立不等式恰好在兩者重疊的地方成立。所以工作就分成兩次獨立的二次符號分析，最後再做一次交集。

2. 2

   先把第一個不等式翻過來，讓拋物線開口向上。 把 $-x^{2}+3x+4\ge 0$ 整式乘以 $-1$，方向必須反轉：

   $x^{2}-3x-4\le 0\;\Longrightarrow\;(x-4)(x+1)\le 0.$

   因為拋物線 $y=(x-4)(x+1)$ 開口向上，它恰好在兩根之間小於或等於零：

   $-1\le x\le 4.$

3. 3

   把 $3x^{2}-5x$ 提出 $x$ 來分解。 沒有常數項，分解立刻就完成：

   $3x^{2}-5x=x(3x-5)\ge 0,\qquad\text{兩根為 }x=0,\;x=\tfrac53 .$

   開口向上的拋物線在兩根之外 $\ge 0$，所以

   $x\le 0\quad\text{或}\quad x\ge \tfrac53 .$

   和因式為 $3x-2$ 的姊妹題比較：只有右邊那個根移動了，從 $\tfrac23$ 變成 $\tfrac53$。

4. 4

   把 $[-1,4]$ 與 $(-\infty,0]\cup\left[\tfrac53,\infty\right)$ 取交集。 一塊一塊來，

   $[-1,4]\cap(-\infty,0]=[-1,0],\qquad[-1,4]\cap\left[\tfrac53,\infty\right)=\left[\tfrac53,4\right],$

   得到解集合 $[-1,0]\cup\left[\tfrac53,4\right]$。被排除的空隙 $\left(0,\tfrac53\right)$ 比 $3x-2$ 那個版本更寬，這也是兩題答案唯一看得出來的差別。

5. 5

   抽查三個點。 $x=0.5$：第一個不等式給 $-0.25+1.5+4=5.25\ge 0$ ✓，第二個給 $0.75-2.5=-1.75<0$ ✗ — 確實該被排除。$x=2$：$6\ge 0$ ✓ 且 $12-10=2\ge 0$ ✓ — 屬於解集合。$x=-1$：$-1-3+4=0\ge 0$ ✓ 且 $3+5=8\ge 0$ ✓ — 左端點屬於這個集合。