解 1/((x + 1)(x + 3)) + 9/((x − 1)(x + 5)) = −1。
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解
1(x+1)(x+3)+9(x−1)(x+5)=−1\frac{1}{(x+1)(x+3)}+\frac{9}{(x-1)(x+5)}=-1(x+1)(x+3)1+(x−1)(x+5)9=−1
把兩個分母展開，找出共同的二次部分。 兩組因式的和相同，1+3=(−1)+5=41+3=(-1)+5=41+3=(−1)+5=4：
(x+1)(x+3)=x2+4x+3,(x−1)(x+5)=x2+4x−5(x+1)(x+3)=x^{2}+4x+3,\qquad (x-1)(x+5)=x^{2}+4x-5(x+1)(x+3)=x2+4x+3,(x−1)(x+5)=x2+4x−5
令 v=x2+4xv=x^{2}+4xv=x2+4x，兩個分母對 vvv 而言就都是一次式。
改寫成 v 的式子。
1v+3+9v−5=−1\frac{1}{v+3}+\frac{9}{v-5}=-1v+31+v−59=−1
把分母清掉。
(v−5)+9(v+3)=−(v+3)(v−5)(v-5)+9(v+3)=-(v+3)(v-5)(v−5)+9(v+3)=−(v+3)(v−5)
10v+22=−(v2−2v−15)=−v2+2v+1510v+22=-\left(v^{2}-2v-15\right)=-v^{2}+2v+1510v+22=−(v2−2v−15)=−v2+2v+15
v2+8v+7=0v^{2}+8v+7=0v2+8v+7=0
解出 v。
(v+1)(v+7)=0⟹v=−1 或 v=−7(v+1)(v+7)=0\quad\Longrightarrow\quad v=-1\ \text{或}\ v=-7(v+1)(v+7)=0⟹v=−1 或 v=−7
把每個值換回去，並捨掉不可能的那個。
v=−1v=-1v=−1：x2+4x+1=0⇒x=−4±122=−2±3x^{2}+4x+1=0\Rightarrow x=\dfrac{-4\pm\sqrt{12}}{2}=-2\pm\sqrt3x2+4x+1=0⇒x=2−4±12=−2±3，兩個都是實數。
v=−7v=-7v=−7：x2+4x+7=0x^{2}+4x+7=0x2+4x+7=0 的判別式是 16−28=−12<016-28=-12<016−28=−12<0，所以沒有實根。
x=−2+3 或 x=−2−3\boxed{x=-2+\sqrt3\ \text{或}\ x=-2-\sqrt3}x=−2+3 或 x=−2−3
檢查定義域並驗算。 排除值是 x=−1,−3,1,−5x=-1,-3,1,-5x=−1,−3,1,−5；兩個根 −2±3≈−0.268-2\pm\sqrt3\approx -0.268−2±3≈−0.268 與 −3.732-3.732−3.732 都避開了它們 ✓。驗算 x=−2+3x=-2+\sqrt3x=−2+3：此時 v=x2+4x=−1v=x^{2}+4x=-1v=x2+4x=−1，所以左邊是 12+9−6=0.5−1.5=−1\tfrac{1}{2}+\tfrac{9}{-6}=0.5-1.5=-121+−69=0.5−1.5=−1 ✓。
x=−2±3x=-2\pm\sqrt3x=−2±3
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