a 取哪些值時，|x − 2| + |x + 3| + |x − 1| + |x + 1| ≥ a 對每個實數 x 都成立？

Step-by-step solution

1. 1

   把問題化約成求最小值。 這個不等式對所有 $x$ 成立，恰好等價於 $a$ 不超過左邊所能取到的最小值。所以定義

   $f(x)=|x-2|+|x+3|+|x-1|+|x+1|$

   並求 $\min f$。其餘都只是整理工作。

2. 2

   用中位數的捷徑先預測答案。 絕對離差之和 $\sum|x-c_{i}|$ 會在點 $c_{i}$ 的任一中位數處取到最小值。這裡四個點是 $-3,\,-1,\,1,\,2$；個數為偶數，所以中間區間 $[-1,1]$ 裡的每個 $x$ 都是中位數。因此最小值在整段 $[-1,1]$ 上都取到——不是在 $[-3,1]$ 上，那個說法很容易脫口而出，但它是錯的。

3. 3

   分段驗證。 分界點 $-3,-1,1,2$ 把數線切成五段，每一段上每個絕對值都以固定的符號展開：

   $x\le-3:\ f=-4x-1;\qquad -3\le x\le-1:\ f=5-2x;$

   $-1\le x\le 1:\ f=7;\qquad 1\le x\le 2:\ f=2x+5;\qquad x\ge 2:\ f=4x+1.$

   在 $[-3,-1]$ 上這個函數是遞減的直線 $5-2x$，從 $f(-3)=5+6=11$ 一路降到 $f(-1)=5+2=7$——它在那裡並不是常數。

4. 4

   讀出最小值。 外側兩段離中心愈遠愈大，靠中間的兩段則朝 $[-1,1]$ 傾斜向下，而在 $[-1,1]$ 上函數是常數

   $f(x)=(2-x)+(x+3)+(1-x)+(x+1)=7.$

   所以 $\min f=7$，且恰在 $[-1,1]$ 上取到。抽查：$f(0)=2+3+1+1=7$ ✓、$f(-2)=4+1+3+1=9$ ✓（嚴格大於最小值）、$f(-3)=5+0+4+2=11$ ✓。

5. 5

   寫出 $a$ 的條件。 不等式 $f(x)\ge a$ 對每個實數 $x$ 都成立，若且唯若

   $a\le 7.$

   若 $a>7$，不等式會在整段中間的開區間上失效；此時當 $7<a\le 9$，解集合是 $\left(-\infty,\tfrac{5-a}{2}\right]\cup\left[\tfrac{a-5}{2},\infty\right)$，由相鄰的兩段一次式反解而得。