求 x⁴ − 16 = 0 的所有根，包括實根與複根。

Step-by-step solution

1. 1

   先看出這是平方差。 換個角度看，兩項都是完全平方：

   $x^{4}=(x^{2})^{2},\qquad 16=4^{2},$

   所以恆等式 $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ 在 $a=x^{2}$、$b=4$ 時適用：

   $x^{4}-16=(x^{2}-4)(x^{2}+4).$

   因式分解比直接開四次方根更好，因為它能把每個根都顯出來，複根也不會漏。

2. 2

   能繼續分解的再分解一次。 第一個括號又是一個平方差：

   $x^{2}-4=(x-2)(x+2),$

   而 $x^{2}+4$ 是平方和，在實數範圍內不能分解。所以在實數範圍內完整的分解是

   $x^{4}-16=(x-2)(x+2)(x^{2}+4).$

3. 3

   對一次因式用「乘積為零」的性質。 乘積為零，恰好是某個因式為零的時候：

   $x-2=0\Rightarrow x=2,\qquad x+2=0\Rightarrow x=-2.$

   這就是全部兩個實根——本來也該如此，因為 $x^{4}=16$ 恰有兩個實數解 $\pm\sqrt[4]{16}=\pm 2$。

4. 4

   在複數範圍內處理剩下的二次式。 令 $x^{2}+4=0$ 得 $x^{2}=-4$，它沒有實數解，但有兩個純虛數解：

   $x=\pm 2i.$

   所以在 $\mathbb{C}$ 上完整的分解是 $(x-2)(x+2)(x-2i)(x+2i)$，這個 $4$ 次多項式恰好有 $4$ 個根，正是代數基本定理所要求的。

5. 5

   逐個驗證。 $2^{4}=16$ ✓，$(-2)^{4}=16$ ✓。對那對虛根，$(2i)^{4}=2^{4}i^{4}=16\cdot 1=16$ ✓，同理 $(-2i)^{4}=16$ ✓。四個根都落在複數平面上半徑 $2$ 的圓上，兩兩相隔 $90^{\circ}$ 均勻分布——這正是一個正實數的四次方根該有的標準圖像。