解 5^(x+2) = 3^(5−x)，求 x。

Step-by-step solution

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   先看清楚為什麼非用對數不可。 底數 $5$ 與 $3$ 沒有共同的次方可以化到一起，所以不能直接把指數畫上等號。兩邊取對數是標準做法 —— 而且用哪個底都可以，因為它最後會在比值裡消掉。

2. 2

   兩邊取自然對數，把指數搬下來。 利用 $\ln(A^k)=k\ln A$：

   $(x+2)\ln5=(5-x)\ln3$

   方程式現在對 $x$ 而言是一次的，$\ln5$ 與 $\ln3$ 只是普通的常數。

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   展開並把 x 項集中。

   $x\ln5+2\ln5=5\ln3-x\ln3\qquad\Longrightarrow\qquad x\ln5+x\ln3=5\ln3-2\ln5$

   兩個 $x$ 項都移到左邊，這樣係數會保持為正。

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   提出公因式，並用對數的乘法律。

   $x(\ln5+\ln3)=5\ln3-2\ln5$

   因為 $\ln5+\ln3=\ln(5\cdot3)=\ln15$，可以化簡成

   $x=\frac{5\ln3-2\ln5}{\ln15}$

5. 5

   算出數值，並更正一個廣為流傳的錯誤小數。 取 $\ln3=1.098612$、$\ln5=1.609438$、$\ln15=2.708050$：

   $x=\frac{5(1.098612)-2(1.609438)}{2.708050}=\frac{5.493060-3.218876}{2.708050}=\frac{2.274184}{2.708050}=0.839787$

   所以 $x\approx0.8398$。這個方程式有時會被寫成 $1.037$，但那是錯的 —— 看下一步的檢驗。

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   代入驗算。 取 $x=0.8397871$：$5^{x+2}=5^{2.8397871}=96.5886$、$3^{5-x}=3^{4.1602129}=96.5886$ —— 到七位有效數字都相等 ✓。改用錯誤的 $x=1.037$ 則得到 $5^{3.037}=132.67$ 對上 $3^{3.963}=77.77$，兩者差得離譜 ✗。