解不等式 (10^x − 25·2^x − 2·5^x + 50)/(5x − x² − 4) ≥ 0。

Step-by-step solution

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   **把 $10^x$ 拆成質數底。**因為 $10=2\cdot 5$，所以 $10^x=2^x\cdot 5^x$。分子成為 $2^x5^x-25\cdot 2^x-2\cdot 5^x+50$，這四個項擺明就是要分組。

2. 2

   **用分組把分子因式分解。**分組成 $2^x(5^x-25)-2(5^x-25)$，可以分解為 $(2^x-2)(5^x-25)$。它的零點是 $2^x=2\Rightarrow x=1$ 與 $5^x=25\Rightarrow x=2$。

3. 3

   把分母因式分解。$5x-x^2-4=-(x^2-5x+4)=-(x-1)(x-4)=(x-1)(4-x)$。它在 $x=1$ 與 $x=4$ 為零，所以這兩個值都不在定義域內。注意 $x=1$ 同時是分子與分母的零點，所以它絕不可能是解。

4. 4

   **追蹤每個因式的正負號。**分子方面：$x<1$ 時 $2^x-2<0$，$x<2$ 時 $5^x-25<0$，所以分子在 $(-\infty,1)$ 為正、在 $(1,2)$ 為負、在 $(2,\infty)$ 為正。分母 $(x-1)(4-x)$ 在 $(-\infty,1)$ 為負、在 $(1,4)$ 為正、在 $(4,\infty)$ 為負。

5. 5

   逐區間合併正負號。$(-\infty,1)$：$+/-=-$。$(1,2)$：$-/+=-$。$(2,4)$：$+/+=+$。$(4,\infty)$：$+/-=-$。只有 $(2,4)$ 讓商為正，而 $x=2$ 本身讓分子為 $0$、分母不為零，所以要包含進來。

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   **檢查一個樣本點與端點。**在 $x=3$ 分子是 $1000-200-250+50=600$、分母是 $15-9-4=2$，商為 $300\ge 0$，與預測相符。在 $x=2$ 分子是 $100-100-50+50=0$、分母是 $2$，所以商恰好是 $0$，不嚴格的不等式成立。