解不等式 2x² − 3x − 2 > 0。

Step-by-step solution

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   先確認不等式已經是標準式。 所有項都在左邊、右邊是 $0$，可以直接進行因式分解。首項係數是 $2$，表示這不是首一的分解，拆項時必須把它算進去。

2. 2

   分解這個非首一的二次式。 找兩個整數，乘積是 $ac = 2\cdot(-2) = -4$、和是 $b=-3$：就是 $-4$ 與 $1$。把中間項拆開，$2x^2-4x+x-2 = 2x(x-2)+1(x-2)$，所以 $2x^2-3x-2 = (2x+1)(x-2).$ 展開回去得 $2x^2-4x+x-2=2x^2-3x-2$，檢查通過。

3. 3

   找出分界點。 令每個因式為零：$2x+1=0$ 得 $x=-\tfrac12$，$x-2=0$ 得 $x=2$。這是整個式子唯一可能變號的位置。

4. 4

   逐區間檢查符號。 這兩點把數線切成 $\left(-\infty,-\tfrac12\right)$、$\left(-\tfrac12,2\right)$ 與 $(2,\infty)$。在 $x=-1$：$(2(-1)+1)((-1)-2) = (-1)(-3) = 3>0$。在 $x=0$：$(1)(-2) = -2<0$。在 $x=3$：$(7)(1) = 7>0$。$+,-,+$ 這個規律正是開口向上的拋物線必然的樣子。

5. 5

   取乘積為正的區間。 因為不等式是嚴格的，兩根本身要排除：$x<-\tfrac12 \quad \text{或} \quad x>2, \qquad \text{即 } \left(-\infty,-\tfrac12\right)\cup(2,\infty).$

6. 6

   記住這個捷徑。 當 $a>0$ 且有兩個相異實根 $r_1<r_2$ 時，$ax^2+bx+c>0$ 的解永遠在兩根之外，而 $<0$ 的解永遠在兩根之間 - 上面的逐區間檢查只是再確認一次。