已知 −1 ≤ x + y ≤ 4 且 2 ≤ x − 6y ≤ 3，求 z = 6x − 8y 的範圍。

Step-by-step solution

1. 1

   不要分別去界住 x 和 y。 單獨界住每個變數再拼回去，一定會把範圍放大，因為兩個條件之間是彼此牽連的。正確的做法是把目標式表示成兩個已知式子的線性組合。

2. 2

   列出配湊的式子。 找常數 $\alpha,\beta$ 使得

   $6x-8y=\alpha(x+y)+\beta(x-6y).$

   比較係數得到聯立方程式

   $\alpha+\beta=6\ (\text{來自 }x),\qquad \alpha-6\beta=-8\ (\text{來自 }y).$

3. 3

   解出這兩個權重。 用第一式減第二式：

   $7\beta=14\ \Longrightarrow\ \beta=2,\qquad \alpha=6-2=4.$

   驗算：$4(x+y)+2(x-6y)=4x+4y+2x-12y=6x-8y$ ✓。

4. 4

   把兩個已知區間各按權重放大。 兩個權重都是正的，所以不等號方向不變：

   $-1\le x+y\le 4\ \Longrightarrow\ -4\le 4(x+y)\le 16,$
   $2\le x-6y\le 3\ \Longrightarrow\ 4\le 2(x-6y)\le 6.$

   如果某個權重解出來是負的，那一條不等式在相加之前必須先反向——這就是這個方法的經典陷阱。

5. 5

   把兩個界好的區間相加。

   $-4+4\le z\le 16+6\ \Longrightarrow\ 0\le z\le 22.$

6. 6

   確認兩個端點都取得到。 只有兩個條件同時取到極端值時，邊界才會達到。取 $x+y=-1$、$x-6y=2$，得 $x=-\tfrac47$，$y=-\tfrac37$，此時 $z=6(-\tfrac47)-8(-\tfrac37)=-\tfrac{24}{7}+\tfrac{24}{7}=0$。取 $x+y=4$、$x-6y=3$，得 $x=\tfrac{27}{7}$，$y=\tfrac17$，此時 $z=\tfrac{162}{7}-\tfrac{8}{7}=\tfrac{154}{7}=22$。兩端都能達到，所以範圍恰好是 $[0,22]$。