函數 f(x) = |x| + 10 向左平移 8 單位、向下平移 2 單位，寫出新函數。

Step-by-step solution

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   把兩類平移分開看。 水平平移與鉛直平移遵循的規則不一樣，把它們搞混是最常見的錯誤：

   $\text{向右平移 } h \text{：} x\mapsto x-h\ \text{（在裡面）},\qquad \text{向上平移 } k \text{：} +k\ \text{（在外面）}$

   在函數裡面時，符號與移動方向相反；在外面時則一致。

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   先做水平平移。 向左移 $8$ 單位就是 $h=-8$，於是 $x$ 要換成 $x-(-8)=x+8$：

   $|x|+10\ \longrightarrow\ |x+8|+10$

   裡面寫 $+8$ 卻讓圖形往左跑，正是最反直覺的地方：頂點原本在 $x=0$，現在到了 $x=-8$。

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   再做鉛直平移。 向下移 $2$ 單位，就是給整個輸出減去 $2$：

   $|x+8|+10-2=|x+8|+8$

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   盯住頂點來確認。 原來的頂點在 $(0,10)$。左移 $8$、下移 $2$ 之後應當落到 $(-8,8)$。從新的式子看，$|x+8|$ 在 $x=-8$ 處取最小值，此時函數值為 $0+8=8$——頂點正是 $(-8,8)$ ✓。

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   再驗一個點。 原函數裡 $f(0)=10$。點 $(0,10)$ 應當移到 $(-8,8)$，這一點剛才已經確認過；而原來的點 $(8,18)$ 應當移到 $(0,16)$。新函數算出 $|0+8|+8=16$ ✓。