2x² − 4x + 1 能分解嗎？若能，請分解它。

Step-by-step solution

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   先問對問題：在哪個數系上分解？ 在整數上，二次式 $ax^2+bx+c$ 只有在判別式是完全平方數時才分得開；在實數上，只要判別式非負就分得開。所以先算 $\Delta$，不要急著猜因數對。

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   計算判別式。 由 $a=2$、$b=-4$、$c=1$：$\Delta = b^2-4ac = 16-8 = 8.$ 因為 $8>0$，有兩個相異實根，所以實數上的分解式存在——但 $8$ 不是完全平方數，所以整數或有理數的分解式不存在。去試 $(2x\pm1)(x\pm1)$ 之類的組合注定失敗。

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   用公式解求根。 $x = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{4} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{4} = \frac{2\pm\sqrt{2}}{2},$ 所以 $x \approx 1.7071$ 與 $x \approx 0.2929$。

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   寫出以根為主的分解式。 因為首項係數是 $2$，它必須擺在最前面：$2x^2-4x+1 = 2\left(x-\frac{2+\sqrt2}{2}\right)\left(x-\frac{2-\sqrt2}{2}\right).$

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   用配方法得到更漂亮的形式。 $2x^2-4x+1 = 2(x^2-2x)+1 = 2\big[(x-1)^2-1\big]+1 = 2(x-1)^2-1$。這已經是平方差 $\big(\sqrt2(x-1)\big)^2-1^2$，所以 $2x^2-4x+1 = \left(\sqrt2(x-1)-1\right)\left(\sqrt2(x-1)+1\right).$

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   展開驗算。 $\left(\sqrt2(x-1)\right)^2-1 = 2(x-1)^2-1 = 2x^2-4x+2-1 = 2x^2-4x+1$。正確。這兩個因式也可以寫成 $(\sqrt2 x-\sqrt2-1)(\sqrt2 x-\sqrt2+1)$。