分解 x² − 4x + 3，並用分解式解 x² − 4x + 3 = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   先設出目標形式。 一個在整數上分得開的首一二次式可以寫成

   $x^2 - 4x + 3 = (x - a)(x - b)$

   把右邊展開會得到 $x^2 - (a+b)x + ab$，所以兩個未知數是被兩個條件釘死的，不是猜出來的。

2. 2

   讀出和與積的條件。 比對係數：

   $a + b = 4, \qquad ab = 3$

   換成 $x^2 + bx + c$ 的說法，就是要找兩個數，乘積為 $c = +3$、和為 $-4$；那兩個數是 $-1$ 與 $-3$。

3. 3

   用符號快速縮小搜尋範圍。 乘積 $+3$ 是正的，所以兩數同號；和 $-4$ 是負的，所以兩者都必須是負數。$3$ 唯一的負因數對是 $(-1, -3)$，而且確實 $(-1)(-3) = 3$、$(-1) + (-3) = -4$。因此

   $x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)$

4. 4

   展開檢查分解式。

   $(x - 1)(x - 3) = x^2 - 3x - x + 3 = x^2 - 4x + 3 \ \checkmark$

   一次項係數來自兩個交叉項 $-3x$ 與 $-x$；正是這一步展開，讓「你怎麼得到的」這個問題有答案。

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   套用乘積為零的性質。 乘積等於零，只可能是其中一個因式為零：

   $(x - 1)(x - 3) = 0 \ \Longrightarrow \ x - 1 = 0 \ \text{ 或 } \ x - 3 = 0$

   $x = 1 \quad \text{或} \quad x = 3$

   代回檢查：$1 - 4 + 3 = 0$、$9 - 12 + 3 = 0$。用公式解也得到同一組：$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}$。