化簡 x² 減 3 乘 (x/2 加 √5) 的平方。

Step-by-step solution

1. 1

   先把括號平方——次方的結合力比前面的 3 強。 用 $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，取 $a=\frac{x}{2}$、$b=\sqrt5$：

   $a^2=\frac{x^2}{4},\qquad 2ab=2\cdot\frac{x}{2}\cdot\sqrt5=x\sqrt5,\qquad b^2=(\sqrt5)^2=5$

   所以 $\left(\frac{x}{2}+\sqrt5\right)^2=\frac{x^2}{4}+x\sqrt5+5$。注意 $b^2=5$ 是精確值 —— 平方把根號消掉了。

2. 2

   把整個平方乘以 3。

   $3\left(\frac{x^2}{4}+x\sqrt5+5\right)=\frac{3x^2}{4}+3x\sqrt5+15$

   三項都要乘 3，含根號的那一項也不例外。

3. 3

   相減，把負號分配到三項上。

   $x^2-\left(\frac{3x^2}{4}+3x\sqrt5+15\right)=x^2-\frac{3x^2}{4}-3x\sqrt5-15$

   這裡是最容易掉正負號的地方；中間項與最後一項都要變成負的。

4. 4

   合併 $x^2$ 項。

   $x^2-\frac{3x^2}{4}=\frac{4x^2-3x^2}{4}=\frac{x^2}{4}$

   所以化簡後的式子是

   $\frac{x^2}{4}-3x\sqrt5-15$

5. 5

   取 $x=2$ 檢查。 原式為 $4-3\left(1+\sqrt5\right)^2=4-3\left(6+2\sqrt5\right)=4-18-6\sqrt5=-14-6\sqrt5\approx -27.416$。答案給出 $1-6\sqrt5-15=-14-6\sqrt5\approx -27.416$ ✓（其中 $3\sqrt5\approx 6.7082$）。