將 (x + 1)⁴ + (x − 1)⁴ − 82 完全因式分解。

Step-by-step solution

1. 1

   用二項式定理把兩個四次方都展開。

   $(x+1)^4=x^4+4x^3+6x^2+4x+1,\qquad (x-1)^4=x^4-4x^3+6x^2-4x+1$

2. 2

   相加，看奇次方全部消失。

   $(x+1)^4+(x-1)^4=2x^4+12x^2+2$

   這不是巧合：第二個式子就是把第一個式子的 $x$ 換成 $-x$，而 $f(x)+f(-x)$ 一定只留下偶次項。看懂這件事，就可以完全略過 $x^3$ 與 $x$ 的計算。

3. 3

   減掉 82，再提出公因數 2。

   $2x^4+12x^2+2-82=2x^4+12x^2-80=2\left(x^4+6x^2-40\right)$

4. 4

   代換 $y=x^2$，讓它露出普通的二次式。

   $y^2+6y-40=(y+10)(y-4)$

   因為 $10\cdot(-4)=-40$ 且 $10+(-4)=6$。

5. 5

   換回原變數，在實數範圍分解完畢。

   $x^4+6x^2-40=(x^2+10)(x^2-4)=(x^2+10)(x-2)(x+2)$

   因式 $x^2+10$ 沒有實根，所以維持原樣；$x^2-4$ 是平方差，可以再拆。

6. 6

   整理結果並做數值檢查。

   $(x+1)^4+(x-1)^4-82=2(x-2)(x+2)(x^2+10)$

   代 $x=1$：原式是 $16+0-82=-66$，而 $2(-1)(3)(11)=-66$ ✓。代 $x=3$：$256+16-82=190$，而 $2(1)(5)(19)=190$ ✓。