解 (3x − 24) 的四次方乘以 7 的三次方等於 2 乘以 7 的四次方。

Step-by-step solution

1. 1

   兩邊同除以共同的 7 的次方。 $(3x-24)^4 = \frac{2\cdot 7^4}{7^3} = 2\cdot 7^{4-3} = 2\cdot 7 = 14.$ 先把 $7^3$ 約掉，就完全不必去算 $7^4 = 2401$。

2. 2

   問問看 14 是不是某個數的四次方。 小整數的四次方依序是 $1, 16, 81, 256,\ldots$，$14$ 並不在其中。所以 $3x-24$ 不可能是整數（連有理數都不可能），在自然數範圍內這個方程式無解。

3. 3

   在實數上開四次方根。 偶次方根有兩個實數分支： $3x-24 = \pm\sqrt[4]{14} = \pm 1.9343364.$ $14$ 的另外兩個四次方根是純虛數，要實數答案時就捨去。

4. 4

   兩個分支各自解出來。 $3x = 24\pm 1.9343364 \quad\Longrightarrow\quad x = 8\pm\frac{\sqrt[4]{14}}{3},$ 得到 $x \approx 8.6447788$ 或 $x \approx 7.3552212$。

5. 5

   驗算其中一個根。 取 $x=8.6447788$，則 $3x-24 = 1.9343364$，而 $(1.9343364)^4 = 14.0000$；再乘上 $7^3=343$ 得到 $4802 = 2\cdot2401 = 2\cdot7^4$。正確。

6. 6

   依題目層次給答案。 如果是要求整數答案的學校題目，答案就是「無解」；在實數上則是對稱的一組 $8\pm\tfrac{\sqrt[4]{14}}{3}$，並以 $x=8$ 為中心，因為 $3x-24 = 3(x-8)$。