解 x⁴ + x³ + x² + x = 4.553。

Step-by-step solution

1. 1

   先因式分解，把實根個數數清楚。 由於

   $g(x)=x^4+x^3+x^2+x=x(x+1)(x^2+1)$

   而 $x^2+1>0$，所以這個函數只在 $(-1,0)$ 上取負值，兩側都像 $x^4$ 那樣上升。因此高度為 $4.553>0$ 的水平線與圖形恰好相交兩次：右支一次、左支一次。事先弄清這一點，就不會找到一個根就收工。

2. 2

   先把正根夾住。 $g(1)=1+1+1+1=4$，低於目標值；$g(1.1)=1.4641+1.331+1.21+1.1=5.1051$，高於目標值。所以這個根落在 $(1,1.1)$ 裡。

3. 3

   把它逼近到位。 用二分法（或者從 $1.05$ 出發做一步牛頓迭代）得到

   $x_1=1.0524735$

   驗一下：$g(1.0524735)=4.55300$。常被引用的 $1.054381$ 算出 $g=4.5742$，大了 $0.021$ —— 這裡的導數約為 $11$，所以 $x$ 上 $0.002$ 的誤差會明顯放大出來。

4. 4

   再把負根夾住。 $g(-1.69)=4.4966$、$g(-1.70)=4.6291$，正好把 $4.553$ 夾在中間。所以第二個根落在 $(-1.70,-1.69)$ 裡。

5. 5

   把它也逼近到位。

   $x_2=-1.6942810,\qquad g(x_2)=4.55300$

   有人給出的 $-1.853257$ 遠在這個夾擠區間之外 —— 實際上 $g(-1.853257)=7.0124$，和 $4.553$ 差得很遠。

6. 6

   寫出答案。 兩個實數解是

   $x\approx 1.0524735\quad\text{與}\quad x\approx -1.6942810$

   剩下兩個根構成一對共軛複數，因為四次方程式一共有四個根。