將 (x + 1)/(x − 1)² 分解成部分分式。

Step-by-step solution

1. 1

   替重根因式選對分解形式。 因式 $(x-1)^2$ 要為每一個不超過重根次數的次方各配一項，不能只寫最高的那一項：

   $\frac{x+1}{(x-1)^2}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}$

   只用 $\tfrac{B}{(x-1)^2}$ 的話未知數太少，配不出一次的分子。

2. 2

   去分母。 兩邊同乘 $(x-1)^2$：

   $x+1=A(x-1)+B$

3. 3

   展開並依 $x$ 的次方分組。

   $x+1=Ax-A+B=Ax+(B-A)$

4. 4

   比較係數。 $x$ 的係數給出 $A=1$；常數項給出 $B-A=1$，因此

   $B=1+A=2$

5. 5

   寫出分解式並檢查。

   $\frac{x+1}{(x-1)^2}=\frac{1}{x-1}+\frac{2}{(x-1)^2},\qquad x\neq 1$

   合併回去：$\tfrac{(x-1)+2}{(x-1)^2}=\tfrac{x+1}{(x-1)^2}$ $\checkmark$。數值上取 $x=3$：左式 $=\tfrac44=1$，右式 $=\tfrac12+\tfrac24=1$ $\checkmark$。