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Algebra · real student question

用綜合除法計算 x³ + 3x² − 6x − 8 除以 x − 1，寫出商與餘式，並判斷 x − 1 是不是它的因式。

Question

用綜合除法計算 x3+3x2−6x−8x^3+3x^2-6x-8 除以 x−1x-1。寫出商與餘式，並判斷 x−1x-1 是不是這個三次式的因式。

Step-by-step solution

  1. 取 c=1c=1 列式。 由 x−1=x−(1)x-1=x-(1) 知角落的數是 c=1c=1，係數列為

    1,  3,  −6,  −81,\;3,\;-6,\;-8

    動手除之前，先用餘式定理把餘式預測出來：f(1)=1+3−6−8=−10f(1)=1+3-6-8=-10。事先知道答案，表格就從「憑空一躍」變成了一次核對。

  2. 走一遍「乘一次、加一次」。 因為 c=1c=1，乘法這一步幾乎不用算，正好方便看清整個機制：

    113−6−814−214−2−10\begin{array}{r|rrrr}1 & 1 & 3 & -6 & -8\\ & & 1 & 4 & -2\\ \hline & 1 & 4 & -2 & -10\end{array}

    先把 11 落下來；1⋅1=11\cdot 1=1，3+1=43+1=4；4⋅1=44\cdot 1=4，−6+4=−2-6+4=-2；−2⋅1=−2-2\cdot 1=-2，−8+(−2)=−10-8+(-2)=-10。

  3. 把最後一列拆成商與餘式。 末位的 −10-10 是餘式；前三個是商的係數，商的次數是 22：

    商=x2+4x−2,餘式=−10\text{商}=x^2+4x-2,\qquad \text{餘式}=-10

    它與先前預測的 f(1)=−10f(1)=-10 一致，說明算術沒出錯。

  4. 寫出帶餘除法式。 任何一次多項式除法都能寫成兩種等價形式——帶分式的混合式，或者「乘積加餘式」的恆等式：

    x3+3x2−6x−8x−1=x2+4x−2−10x−1\frac{x^3+3x^2-6x-8}{x-1}=x^2+4x-2-\frac{10}{x-1}

    x3+3x2−6x−8=(x−1)(x2+4x−2)−10x^3+3x^2-6x-8=(x-1)(x^2+4x-2)-10

    要驗算就用第二種，因為它裡面沒有分式。

  5. 回答因式的問題並加以確認。 餘式是 −10≠0-10\ne 0，由因式定理可知 x−1x-1 不是因式，x=1x=1 也不是根。把恆等式展開，兩個數都能對上：

    (x−1)(x2+4x−2)=x3+4x2−2x−x2−4x+2=x3+3x2−6x+2(x-1)(x^2+4x-2)=x^3+4x^2-2x-x^2-4x+2=x^3+3x^2-6x+2

    而 x3+3x2−6x+2−10=x3+3x2−6x−8  ✓x^3+3x^2-6x+2-10=x^3+3x^2-6x-8\;\checkmark。如果真要找根，應該去試 88 的各個因數；這裡 f(1)≠0f(1)\ne 0 只是把 x=1x=1 排除掉而已。

Answer

x3+3x2−6x−8=(x−1)(x2+4x−2)−10,商 x2+4x−2, 餘式 −10x^3+3x^2-6x-8=(x-1)(x^2+4x-2)-10,\qquad \text{商 }x^2+4x-2,\ \text{餘式 }-10

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